have to check... un momento... true
Здравствуйте, гость.

Рискните, пройдите тест по математике!
B1.
Решите уравнение
1). Учитель: - Надо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.
Читатель А: - Не-ет, не помню.
Учитель: -
Читатель В: - Как это получается?
Учитель: - Просто...- Логарифмом числа по основанию , называется показатель степени в которую надо возвести , чтобы получить . т.е. если , то , теперь заменим . Вот и получили основное логарифмическое тождество.
2). Не забыть про ОДЗ: у логарифма .




B2. Найдите значение выражения, если     
Учитель: - Это задание на формулы приведения. Поделюсь с Вами правилом, удобным для запоминания, но не очень корректно сформулированным. Наверное, поэтому его и нет в учебниках.
1).Формулы приведения справедливы для выражений вида .

1.Если (число) четно, то функция не меняется на ко-функцию.
Читатель А: - А что такое ко-функция?
Учитель: - Косинус меняется на синус, а синус - на косинус. Котангенс меняется на тангенс, а тангенс на котангенс.
Читатель В: - Да, я понял. Синус и косинус кофункции по отношению друг к другу.
Учитель: - Знак первоначальной функции остается без изменения.
Читатель А: - Здесь надо пояснить...
Учитель: - Любое принимается не выходящим за пределы одной четверти. Каково бы оно ни было.
Читатель В:- Даже если , то считается на выходящим за пределы одной четверти.
Учитель: - Хороший пример. Да, именно так... Давай разберем этот пример до конца. принадлежит IV четверти. Там косинус положительный, значит перед ответом ставим "+".
Читатель В: - А функция меняется на ко-функцию.
Учитель: - Верно, итак .
Читатель А: - Но ведь можно выделить количество целых четвертей и свести этот пример к функции наименьшего угла.
Учитель: - Да, конечно.
Читатель В: - Так, сейчас подумаю... 11 раз по - функция меняется на ко-функцию. Четверть IV, синус в ней отрицательный, - да, все понятно.




В3. Решите уравнение.(Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней).    
Учитель: - Проанализируем выражение - видим одинаковые "куски".
Читатель А: - Это . Давайте поделим на этот корень, получим .
Учитель: - Не-ет... Так нельзя, ты потерял корень. Надо вынести . Сделаете?
Читатель В: - Так? .
Учитель: - Да. Теперь каждое из множителей равно нулю. И решаем простейшие уравнения.
Читатель А: - .
Учитель: - Но проверим ОДЗ. Подкоренное выражение должно .
Читатель В: - Значит, не подходит. И ответ будет х1=1 и х2=2.




В4. Найдите значение выражения , еслиявляется решением системы уравнений     
Читатель В: - Это ужас что...
Учитель: - Пока пугаться рано. Заменяем и . Получаем систему уравнений. Выражаем одну переменную через другую. Получаем систему уравнений И возвращаемся к исходным переменным х и у. Получаем простейшее показательное уравнение и линейное уравнение.



В5. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции , которые наклонены под углом в к положительному направлению оси абсцисс.



Читатель А: - Та-ак... Производная.
Учитель : - Сначала просто определение:
Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента. - Выдержали?
Читатель А: - Не очень... Что такое предел, приращение, аргумент, - ни чего не понятно...
Учитель: - Давайте разберемся.
1). Обозначение производной .
2). Запишем определение математически:                       
, здесь - и есть обозначение слова "предел". Давать математическое определение предела я не буду... Только Вас путать. Просто рассмотрим разные функции и разные пределы и все станет ясно. Для начала рассмотрим .
Читатель А: - Это гипербола, ее график .
Учитель: - Да, верно, так рассмотрим .
Читатель В: - Так, мы в школе говорили, что при х стремящемся к стремится к 0 сверху.
Учитель: - Да все верно. Это можно записать .
Читатель В: - Но... Этот ...
Учитель: - Это не страшно, просто показываем с какой стороны функция стремится к нулю.
Читатель А: - Ясно...
Учитель: - Аналогично , . Причем если при данном х существует, то х можно просто подставить .
Читатель А: - Так с пределом понятно, а приращение?..
Учитель: - Это из самого слова слышно: приращение, прирост - изменение. Просто х1 увеличивают на какое-то число и получают х2. Итак .
Читатель В: - Ну а приращение функции - это .
Учитель: - Ну вот и разобрались. Остался "аргумент" - это просто "х".
3). Итак вернемся к производной. Рассмотрим на рисунке: . Здесь прямоугольный, , , тогда .Заметим, именно это выражение в (1). Итак, , х0 - точка в которой берут производную.
Но вернемся к задаче.
4). У нас .
Читатель А: - Тангенс равен 1. Значит .
Читатель А: - У нас график производной, значит ищем точки в которых производная, т.е. сама функция, изображенная на графике равна 1.
Учитель: - Верно. Сколько их?
Читатель В: три.
Учитель : - Ну вот и ответ. Очень простое задание группы В, если конечно понимать...



В6. Найдите значение выражения при      
Учитель: - Заметим, под корнями все похоже, так попробуем возвести в квадрат.

Читатель А: - Так... Получится .
Учитель: - Нет, не верно, вы забыли удвоенное произведение : .
Читатель А: - Тогда получится .
Учитель: Да, теперь верно.
Читатель В: - Теперь применим формулу разности квадратов.
Читатель А: - А под корнем - формула квадрата разности!
Учитель: - Верно. Вспоминаем правило вынесения из-под знака корня и получаем
Читатель: - О, этот модуль.
Не так все страшно, вспоминаем, что , значит модуль раскрываем с минусом, получаем .
Читатель: - Значит, ответ - 4. Но такого нет варианта ответа.
Учитель: - Нет, не 4. Вспомни, мы ведь возводили в квадрат.
Читатель: - Значит, должно быть .
Учитель: - Нет, не совсем так. Посмотрите на первоначальное выражение - сумма корней. В школьном курсе математики корень определяют как неотрицательную величину. получаем ответ х=2.

B7. Найдите наименьший корень уравнения     
Учитель: - Что Вы скажете об этом примере?
Читатель А: - Здесь логарифмы, модуль, квадрат - все в перемешку...
Читатель В: Определение логарифма
Читатель В: - Давайте число 6 представим в виде логарифма по основанию 3 от 36, потом "снимем" логарифмы с обеих сторон и будем решать квадратное уравнение относительно . Т.е. получится .
Учитель: - Не-е-ет! Нет такого свойства у логарифма. Давай обсудим. Что значит снимем логарифмы с двух сторон уравнения, на чем это основано?
Читатель А: - Это основано на определении функции: Функцией называется закон, по которому каждому значению агрумента ставится в соотвествие одно значение функциии . И поэтому если функция монотонно возрастает или убывает, то такое соответствие однозначно. И любое тождество можно преобразовать с помощью функции, т.е. если , то . Или наоборот, из равенства функций некоторых аргументов следует равество самих аргументов. Т.е. в нашем случае, если , то .
Учитель: - Да, верно. А сейчас у нас с левой стороны сумма логарифмов. Следовательно, надо воспользоваться свойством .
Читатель А: - А я вижу и еше один возможный метод решения!
Учитель: - Давай! Рассказывай!
Читатель А: - Степень может "вынестись" вперед и будет сумма логарифмов по одному основанию и от одного и того же выражения, мы их сложим и получим .
Учитель: - Да это верно, и следующим шагом будет .
Читатель В: - А теперь еще один раз применяем тоже свойство -
Учитель: - Так, отлично.
Читатель А: Теперь разбираемся с модулем, раскрываем его с "+" и с "-". Получаем и .
Учитель: - Стоп. Что-то ты забыл...
Читатель В: - А я знаю будут на самом деле системы .
Учитель: - Верно, и решаем каждую систему отдельно . Как видно обе системы совместимы. Но кое-то надо еще проверить...
Читатель В: - Я помню! ОДЗ!
Учитель: - Отлично! И как мы это делаем?
Читатель В: - Подставляем в исходное уравнение и проверяем имеет ли оно смысл. Но здесь все вообще просто - единственная функция - логарифм и вычитание. Вычитать можно что угодно, а выражение под знаком логарифма находится или в квадрате или под знаком модуля, а значит всегда имеет смысл, кроме . Учитель: - Да, все верно.



B8. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и . Найдите значение выражения.   
Учитель: - Давайте разберемся с определением периодической функции. Функция называется периодической, если существует такое число Т, что
Читатеть А: - Это все хорошо, но все же...
Читатель В: - А я понял, если период функции Т=2, то
Читатель А: Да, я понял, и наоборот . Т.е. получаем
Учитель: - Молодцы, значит просто подставляем и получаем ответ.



B9. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)
Учитель: -Что такое : "Вклад увеличивается на 11%"?
Читатель А: - Пусть - вклад, - это за 1 год. Тогда за 2 года . Причем эту формулу можно обобщить, она будет справедлива для любого количества лет. Советую понимать как она выводится и пользоваться ею. Также она удобна в задачах с последовательным повышением-понижением цен на сколько-то процентов.
Читатель А: - Все равно сложно решить...
Учитель: - Итак у вкладчика лежали 7000 руб. 2 года, значит вклад стал равен , и неизвестный вклад . Всесте больше 10000 рублей. Итак, решаем неравенство . Решаем и получаем, значит .


B10.Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 8, а сторона основания равна . Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BD.
Читатель А: - Правильная четырехугольная призма: правильная - значит в основании лежит правильный многоугольник (в нашем случае - квадрат) и сама призма - прямая.
Читатель В: - Прямой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Построим плоскость . Но я не умею сроить плоскости.
Учитель: Ищем 2 точки лежащие в одной плоскости и принадлежащие искомому сечению и соединяем их. Т.е. можно провести и . А дальше смотрим - ведь точки и также лежат в одной плоскости, а значит их также можно соединить. Вот и получили искомое сечение.
Теперь разберемся с определением расстояния. Расстоянием между точкой и плоскостью называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.
Как найти это расстояние?
Учитель: - Используем теорему о 3-х перпендикулярах: Если проекция наклонной перпендикулярна прямой на плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
Т.е. проведем И . Тогда опустив перпендикуляр из на получим искомое расстояние .
- Каков ?
Читатель В: - Он равнобедренный.
Учитель: - А что такое равнобедренный треугольник?
Читатель А: - Равнобедренным треугольником называется треугольник с друмя равными сторонами.
Учитель: - Каков ?

Читатель В: - Он также равнобедренный.
Учитель: - Каковы свойства равнобедренного треугольника?
Читатель В: - В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Учитель: - Так, хорошо. Теперь используем признак подобия треугольников по двум углам (один угол у них общий, а другой - прямой.)
Тогда .
.
Итак, изложен план решения этой задачи. Перейдем к вычислениям.


По теореме Пифагора
Значит . Найдем . Для этого дважды используем теорему Пифагора для треугольников и . Получаем . Тогда , отсюда .