have to check... un momento... true
Здравствуйте, гость.

Рискните, пройдите тест по математике!
лекции по тригонометрии, в том числе по формулам приведения.
А эти примеры на формулы приведения, теорию и методы применения формул приведения, смотрите здесь.




№ 1. Вычислите:
Так как, число равно трем и, поэтому косинус меняется на синус. Теперь смотрим какая четверть. Под косинусом стоит , значит это четвертая четверть. Косинус в этой четверти положительный, значит ставим плюс перед



№ 2. Найдите значение выражения:
Здесь та же формула приведения, только в несколько завуалированной форме. Надо самим привести к виду, необходимому для применения формул приведения
.

А теперь применяем формулу приведения: Число равно , значит синус на косинус не меняется. Теперь смотрим какая четверть: - три полных круга по часовой стрелке, а затем крутим против часовой стрелки. Причем замечу, что не важно какое стоит значение, важен знак. у нас плюс - значит против часовой стрелки и не больше одной четверти. Итак, получаем - первая четверть, синус здесь положительный, значит пишем плюс. Итак,



№ 3. Найдите значение выражения:
Здесь ситуация аналогична предыдущему примеру. Закрепляем. Сначала преобразуем выражение так, чтобы можно было воспользоваться формулой приведения и ... применяем ее: число раз по равно , следовательно четное число , следовательно тангенс на котангенс не меняется.
Смотрим какая четверть:
По часовой стрелке полтора круга и еще по часовой стрелке попадаем во вторую четверть. Во второй четверти котангенс отрицателен, значит получаем .

Многим сложно запомнить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Давайте разберемся в этом. Сейчас предложу Вам один из способов.
Запоминаем, что , а также факт, что . У нас есть три значения . При этом "учавствуют в мигании" синуса и косинуса, а среднее значение ... Среднему значению равны косинус и синус среднего угла . А тангенс и котангенс получаем по определению . Итак, у нас котангенс шестидесяти градусов, раз котангенс - значит в числителе косинус. А косинус шестидесяти градусов равен синусу тридцати, значит одной второй. Значит в числителе будет единица, ну а синус шестидесяти градусов равен корню из трех деленному на два. Значит, в знаменателе будет корень из трех. Итак,



№ 4. Упростите выражение:
Это задание также на формулы приведения. Под котангенсом , т.е. восемь раз по - четное число. Значит котангенс остается. Смотрим четверть, крутим два круга против часовой стрелки и еще какой-то угол против часовой стрелки, тогда получаем первую четверть. Котангенс в ней положителен, получаем .
Теперь разбираемся с тангенсом. Под знаком тангенса стоит семь раз по - нечетное число раз тангенс будет меняться на котангенс. Теперь четверть - семь четвертей против часовой стрелки - отрицательное направление оси У. А затем по часовой стрелке не выходя за пределы одной четверти, - третья четверть. Знак тангенса в этой четверти положителен. Итак, . Итак, "собираем пример"



№ 5. Определите знак выражения:
Здесь надо определить в какой четверти находится соответсвующий аргумент, определить знак тригонометрической функции в этой четверти.
Семьсот двадцать градусов - это два полных круга, два раза по триста шестьдесят градусов. И потом по часовой стрелке шестнадцать градусов, итак получаем четвертую четверть. Косинус в четвертой четверти положителен, значит косинус семисот восьми градусов также положителен.
Теперь поработаем с тангенсом.. Против часовой стрелки один круг, и еще двадцать пять градусов. Это первая четверть. Тангенс в первой четверти положителен. Вернемся к примеру в совокупности, . Произведение положительных множителей дает положительный результат.



№ 6. Приведите к значению функции наименьшего положительного аргумента:
Это задание также на формулы приведения. . Сто восемьдесят градусов минус "что-то" попадает во вторую четверть. Косинус во второй четверти отрицателен



№ 7. Приведите к значению функции наименьшего положительного аргумента:
Число четное, синус на косинус не меняется. Десять полных кругов против часовой стрелки и "что-то" по часовой стрелке. Пишу "что-то" , т.к. не важно какое значение вычитается или прибавляется всегда принимают угол не выходящим за пределы одной четверти. Итак, получаем четвертую четверть, синус в ней отрицателен. . Опять используем формулу приведения . Один раз девяносто градусов - синус меняется на косинус. Один раз по девяносто градусов - положительное направление ОУ, и еще "что-то". Получаем вторую четверть. Синус в ней положителен.



№ 8. Вычислите:






№ 9. Упростите выражение:


Приведем выражение к удобному виду для применения формул приведения, при этом использовалось свойство четности косинуса

используем формулы приведения

используем формулу синуса двойного угла





№ 10.Упростите выражение:


Посмотрите, очень удобно тригонометрическая функция в квадрате, значит можно не смотреть четверть, достаточно определить меняется функция на ко-функцию или нет.

вспоминаем основное тригонометрическое тождество


№ 11.1. Вычислите:


Теперь начинается тренинг по теме "значения тригонометрических функций". Один из способов запоминания значений тригонометрических функций описан в этом тесте выше. Так... Арксинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку , синус которого равен . Такой промежуток выбран потому, что синус проходит все возможные свои значения на этом промежутке. Промежуток включает в себя первую и четвертую четверти. В первой четверти синус проходит положительные значения от нуля до единицы, в четвертой четверти от минус единицы до нуля.
Итак, я Вам предлагала запомнить , тогда "мигают значения" , значит . Т.е. получили минус шестьдесят градусов, а значит




№ 11.2.

Арккосинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку , косинус которого равен .
Промежуток здесь другой, действительно на этом промежутке косинус проходит все свои значения от минус единицы до единицы. Для определения значения будем использовать тот же принцип. Помним , значит косинус того же угла будет равен , т.е. при тридцати градусах или . Но у нас арккосинус отрицательного числа, есть свойство .




№ 11.3.


Арктангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку , тангенс которого равен .
Еще раз вспомним , . У нас числитель равен корню из трех, значит синус должен быть равен , а значит искомое значение




№ 11.4.


Арккотангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку , котангенс которого равен .
Еще раз вспомним , значит косинус должен быть равен . Еще раз вспомним , - "мигающие" значения, значит нам нужен тот же угол, синус которого равен. Значит ответ: .


№ 11.5.


А здесь пример уже на "частные" значения, т.е. при которых косинус и синус равны нулю или единице.

Давайте вспомним, что такое косинус.
Косинусом в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Если нарисовать единичную окружность, т.е. окружность с радиусом, равным единице. Тогда , где - координата-абцисса точки , а - радиус окружности, равен единице . Тогда косинус какого-либо угла равен абциссе соответствующей точки на единичной окружности.
Вернемся к примеру, нам нужен угол, косинус которого равен единице, значит нужен угол, абцисса соответствующей точки равна единице. Этот угол равен нулю.


№ 11.6.


Аналогично, синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, на единичной окружности синус соответствует координате точки . В нашем случае ордината равна минус единице, значит этот угол равен . Смотрим, какой угол входит в промежуток, соответствующий арксинусу.


№ 11.7.


Давайте, вспоминайте, как мы делаем...

Вспоминаем определение тангенса, через отношение синуса и косинуса. В числителе единица, значит синус должен быть равен одной второй. А здесь мы уже помним: синус тридцати градусов равен одной второй. Переводим тридцать градусов в радианную меру.
Это удобно сделать с помощью пропорции:


№ 11.8.


Смотрите №11.3


№ 11.9.


Значения - "мигающие" значения, а - "остается" на месте. При этом значении угла синус и косинус равны. Итак, получаем угол равен . Но у нас арксинус отрицательного числа.
Можно пойти двумя путями:
во-первых, синус принимает отрицательные значения в четвертой и третьей четвертях, а арксинусом называется угол принадлежащий промежутку . Значит, ответ .
во-вторых, есть свойство


№ 11.10.


Здесь тот же угол , и опять проблема отрицательного значения под знаком арккосинуса.
И опять два пути:
во-первых, косинус принимает отрицательные значения во второй и третьей четвертях. Арккосинусом называется угол, принадлежащий промежутку ...
во-вторых, есть свойство
Получаем,


№ 11.11.


Вспоминаем, когда косинус равен корню из трех деленому на два... Это значение является "мигающим" вместе с одной второй. Итак, косинус равен корню из трех, деленному на два, при том же угле, при котором синус равен одной второй. . Значит, ответ


№ 11.12.


Мы очень много раз сегодня говорили о "мигающих значениях" и о "стоящие" на месте. Так вот "стоящие" на месте нас и интересует, действительно при этом значении угла синус и косинус равны, а значит тангенс будет равен единице. Итак, это серединка, угол равен


№ 12.1. Решите уравнение:


Пока рисунка нет. Будет объяснение и вывод формул. Для вывода нужен рисунок, как будет возможность появятся и рисунок, и объяснение.
Давайте пока просто по формуле для решения простейшего тригонометрического уравнения .
По этой формуле


№ 12.2.


Здесь можно по формуле


Получаем
. Можно по-другому, используя частные случаи. Синус - это ордината точки на окружности, представляем себе, в какой точке окружности, ордината точки будет равна единице. Может вы представили это, нет нарисуйте... Как описать все эти точки? . Не поленитесь, подставьте различные и убедитесь, что ответы идентичны.


№ 12.3.


Формула для уравнения


№ 12.4.




№ 12.5.




№ 12.6.


Здесь также, как и в №12.2 можно пойти двумя путями:
во-первых, по формуле
во-вторых, исходя из понимания функции косинус. Косинус какого-либо угла соответствует абциссе соответствующей точки. Думаем, где абцисса (т.е. Х) равна минус единице. Нарисуйте единичную окружность и эту точку. Давайте ее назовем. Сама точка - , и сколько нам надо "крутить", чтобы вернуться в эту же точку. Значит, эти все точки можно назвать одним выражением . Обязательно проверьте, что эти два ответа идентичны, т.е. одинаковы.


№ 12.7.


Как мы только что говорили, "косинус - это абцисса единичного круга", а абцисса может быть от минус единицы до единицы. Корень из трех равен примерно один и семь, т.е. больше единицы. Значит, решений нет.


№ 12.8.


А вот котангенс может быть равен минус корню из трех. Поэтому, просто по формуле . Но не просто... Учитываем вспоминаем, что , в числителе должен быть корень из трех, значит, . Чтобы "косинус равнялся корню из трех на два, синус должен быть равен одной второй. Синус равен одной второй при ." Все что написано ранее, взятое в кавычки, не совсем корректно написано, это переложение разговорного языка на письменный. Не совсем корректно, но, надеюсь понятно.


№ 12.9.


смотрите №12.4


№12.10.


Котангенс может быть больше единицы, также как и тангенс. Поэтому, по формуле