have to check... un momento... true

Здравствуйте, гость.

Рискните, пройдите тест по математике!
На этой странице приводится решение некоторых интегралов. При Вашем к нему интересе, если от Вас последуют вопросы, план будет расширен, дополнен, настолько, насколько Вам это удобно. Вы можете писать об интересующих заданиях, и они будут в первую очередь здесь представлены. Любые вопросы - приветствуются. Что-то непонятно - пишите, все будет описано подробнее. Учитесь, а мы будем рады Вам помочь.





0.1 Начальные знания - простейшие интегралы.
      . Множитель можно вынести за знак интеграла,        При замене             Получаем простейший интеграл       . Советую также в тестах пройти тест по решению интегралов школьной программы.



0.2       
Домножаем числитель и знаменатель на 3, прибавляем и вычитаем в числителе одно и тоже число так, чтобы в числителе было бы слагаемое идентичное знаменателю. И разделяем интеграл на два.





1.1 Решение интегралов вида:





1.2 Решение интегралов вида .
Интеграл этот характеризуется нечетной степенью косинуса, - один косинус отправим под знак дифференциала, косинус в оставшейся степени заменяем по основному тригонометрическому тождеству .




1.3
Выделяем полный квадрат и используем табличный интеграл . Получаем .




1.4 Вот еще один интеграл, решаемый по тому же принципу
. Здесь . Далее - табличный интеграл       .




1.5

Пусть       , тогда                                 

       Этот интеграл рассмотрен в пункте 0.2






2.1 Метод решения интегралов, содержащих квадратичную и линейную функции.
      Заметим, что дифференциал квадратичной функции - есть функция линейная, так и будем это использовать.              Разделим интеграл на два интеграла        и делаем упомянутую замену       Используем таблицу интегралов,       




3.Теперь рассмотрим метод интегрирования по частям. .

Примем , тогда . Значит .







4. Метод неопределенных коэффициентов.
4.1 .
.
Подставляем корни:

.





4.2.
      
Подставляем корни или просто небольшие значения
                
                        
При                         . Решая простейшую систему       получаем А=2, В=1. Подставляем эти значения в дроби       . Т.е. получаем разложение на два интеграла       . Это достачно простые интегралы, рассмотрены выше.







5. Специальные подстановки.

5.1 Случай тригонометрических функций.
Подстановка . Выведем значения
, , , .
Тогда . А этот интеграл также берется методом подстановки и он рассмотрен выше. Осталось только подставить вместо . Это и будет ответ.





5.2 . Делаем замену переменных , , . Преобразуем . Выделяем полный квадрат . Получаем .





5.3 .Делаем замену переменных , . .Преобразуем . А этот интеграл рассмотрен в пункте 0.2. Осталось только подставить . Это и будет ответ.





5.4 Рассмотрим еще один важный способ подстановки для ингегралов с дробными показателями . Подстановка , Подстановка , . Тогда . Получаем . Этот интеграл берется также специальным образом, рассмотрен выше.





5.5 Рассмотрим . Выделим полный квадрат и внесем под знак дифференциала. Как это сделать - показано в примерах выше. Получаем . При . Делаем подстановку . Тогда , . Подставляем в интеграл, получаем . . - интеграл из школьной программы, если с ним есть проблемы - порешайте тесты нашего сайта. - решается с помощью подстановки уже рассмотренной выше. Но повторим решение, надеюсь Вы будете решать сами, и только сверяться с предложенным решением. Подстановка . Тогда , , . Если это не понятно, выше дано полное решение. Получаем .





5.6 Еще интересный пример подстановки . Подстановка , . . Этот интеграл решается выше.








Интегралы для самостоятельного решения
1.

2.

3.       .